Archivos mensuales: junio 2016

Junio

Hora y lugar:  Viernes 10 de junio, 11:30 a 13:15 hrs. Sala 2-3 IMA-PUCV

Expositor: Hiep Han (Pontificia Universidad Católica de Valparaíso)

TítuloRandom/quasi random discrete structures and arithmetic progressions

Resumen :

Van der Waerden’s theorem states that every coloring of the first n integers with r colours yields a monochromatic arithmetic progression of length k ≥ 3. This has been extended by Szemer´edi who showed that such a progression already appears in any subset of positive density. Besides being classical theorems with a long and rich history, the two theorems remain very influential up to date. After an introduction we will discuss two problems related to these theorems. The first concerns the two notions of quasi-randomness which are key in the combinatorial and the Fourier analytic proof of Szemer´edi’s theorem. With Aigner-Horev we show that these rather different looking notions are indeed equivalent. Further, we will consider the problem of proving van der Waerden’s theorem in a sparse random subset of the ground set. Consider [n]p, the random subset of the first n integers obtained by picking each element with probability p independently. R¨odl and Ruci´nski showed that, with probability tending to 1 as n tends to infinity, the conclusion of van der Waerden’s theorem already holds for [n]p provided p >> n−1/(k−1), whereas the conclusion fails if p << n−1/(k−1). With Friedgut, Person, and Schacht we improve this result in the setting of Z/nZ and show that the change in the behavior already occurs within a multiplicative constant of (1+o(1)), hence establishing a sharp threshold for the van der Waerden property.  The main purpose of the talk is to give an introduction into several questions and recent developments in extremal combinatorics/additive number theory. No prior experience required!

 

 


 

Hora y lugar: Miercoles 22 de junio, 14:00 a 16:10. Sala multimedia de Matemáticas, Universidad de Valparaíso.

Expositor: Giancarlo Urzúa ( Pontificia Universidad Católica de Chile)

Título: Sobre rectas en el plano proyectivo II

Resumen:

Será una continuación y expansión de mi charla en el III encuentro Chileno de teoría de números. Presentaré algunos problemas abiertos en el tema de arreglos de rectas, dirigidos a estudiantes. Repito el resumen anterior:

Sea k un cuerpo. Un arreglo de rectas A sobre k en el plano proyectivo P^2 es una colección finita de rectas con coeficientes en k. Para n>1, un n-punto en A es un punto contenido en exactamente n rectas de A. La combinatoria de A es el dato de sus rectas y sus n-puntos junto con su incidencia.

Resulta que hay desigualdades sobre los números de Chern asociados al par (P^2,A) dependiendo de k, las cuales dan restricciones no triviales sobre la combinatoria de A. También, uno puede mostrar cierta distribución en los racionales para los cocientes de estos números. Esto depende de si k es real, complejo o de característica positiva. El propósito de esta charla es describir que se sabe al respecto y explicar algunas preguntas abiertas. La idea principal es sugerir que quizás este comportamiento se puede hacer más dependiente del cuerpo k, dando origen a desigualdades más finas.