Archivos mensuales: octubre 2014

Octubre

Martes 28 de Agosto, sala 2-3, IMA de la PUCV, 15:40-16:40

Expositor: Giancarlo Urzúa

Título: Geografía simplemente conexa para toda característica

Resumen: Hablaré sobre las ideas y técnicas involucradas en la reciente
solución de un problema geográfico simplemente conexo en
característica cero (arXiv:1402.5801, trabajo conjunto con Xavier
Roulleau (U. de Poitiers)), y en característica positiva (trabajo
conjunto con Rodrigo Codorniu (Paris VI)).

Sin ser muy precisos, el problema de geografía es encontrar
superficies proyectivas no singulares con invariantes fundamentales
dados. Estos invariantes son los números de Chern k,e, los cuales
satisfacen ciertas restricciones. Si hablamos de superficies
simplemente conexas (grupo fundamental topológico (étale) trivial en
car. cero (positiva)) de tipo general, entonces

k y e son enteros positivos,

k+e=0 (mod 12) (M. Noether 1870),

1/5(e-36) <=k (G. Castelnuovo 1905),

y en car. cero, k<3e (Bogomolov-Miyaoka-Yau 1977).

En car. cero, un hecho relevante es que siempre tenemos k<=3e,
independiente del grupo fundamental, pero Yau (más un detalle de
Miyaoka) demuestra que k=3e es equivalente a tener la bola compleja
dos dimensional como cubrimiento universal. Así su grupo fundamental
es no trivial.

La pregunta geográfica que estaba dando vueltas desde 1977 en car. 0
era: ¿Existirá 2<a<3 tal que k<ae para toda tal superficie?. Su
análogo en car. positiva es: ¿Existirá 2<b tal que k<be?

Le damos respuesta negativa a ambas preguntas. Demostramos que:

(Car.=0) La clausura de los k/e en [2,3] es [2,3].
(Car.>0) La clausura de los k/e en [2,infinito) es [2,infinito).

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