Septiembre

Martes 24 de Septiembre, 15:00-17:00

Lugar: IMA de la PUCV, sala 1-5

Expositora: Florence Gillibert (PUCV)

Título: Rational points on Atkin-Lehner quotients of Shimura curves.

Resumen: We are interested in proving the triviality of rational points over Atkin-Lehner’s quotients of Shimura curves. In fact it is conjectured that, except for finitely many exceptions, these quotients only have special rational points.

Let p, q be prime numbers. We consider the quotient of the Shimura curve X^{pq}, of discriminant pq,  by the Atkin-Lehner involution w_q. Under certain explicit congruence conditions, known as the “cas non ramifié de Ogg”, Parent and Yafaev have found a criterion for the non-existence of non-special rational points over such a quotient. In their criterion, they relate the problem to some combinatorics properties of the special fiber of the Cerednick-Drinfeld’s model X^{pq} over Z_p. However, these properties are hard to verify in particular cases.

We explain how, in a recent work, we manage to verify these properties in wide generality. We show that the quotient of X^{pq} by w_q has no non-special rational point for q>245 and p large enough compared to q, in the “cas non ramifié de Ogg”.

Martes 2 de Septiembre, 15:00-17:00

Lugar: Sala 3, Centro Docente Patricio Lynch,  Av. Playa Ancha esquina Patricio Linch, Universidad de Valparaíso

Expositor: Godofredo Iommi  (PUC)

Título:  La fórmula de Besicovitch

Resumen: En esta charla intentaré mostrar cómo técnicas propias de la teoría ergódica permiten obtener resultados interesantes en teoría de números. En la primera parte de la exposición revisaré algunas definciones y resultados de sistemas dinámicos (Teorema de recurrencia de Poincaré, Teorema ergódico de Birkhoff). Mostraré cómo pueden aplicarse, por ejemplo, en la teoría de fracciones continuas. En la segunda parte de la charla probaré, utilizando métodos de formalismo termodinámico, un resultado clásico de Besicovitch en el que calcula la dimensión de Hausdorff de conjuntos de números definidos en términos de la frecuencia con que aperecen los dígitos cero y uno en su expansión en base dos.

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