Archivos mensuales: agosto 2013

Septiembre

Martes 24 de Septiembre, 15:00-17:00

Lugar: IMA de la PUCV, sala 1-5

Expositora: Florence Gillibert (PUCV)

Título: Rational points on Atkin-Lehner quotients of Shimura curves.

Resumen: We are interested in proving the triviality of rational points over Atkin-Lehner’s quotients of Shimura curves. In fact it is conjectured that, except for finitely many exceptions, these quotients only have special rational points.

Let p, q be prime numbers. We consider the quotient of the Shimura curve X^{pq}, of discriminant pq,  by the Atkin-Lehner involution w_q. Under certain explicit congruence conditions, known as the “cas non ramifié de Ogg”, Parent and Yafaev have found a criterion for the non-existence of non-special rational points over such a quotient. In their criterion, they relate the problem to some combinatorics properties of the special fiber of the Cerednick-Drinfeld’s model X^{pq} over Z_p. However, these properties are hard to verify in particular cases.

We explain how, in a recent work, we manage to verify these properties in wide generality. We show that the quotient of X^{pq} by w_q has no non-special rational point for q>245 and p large enough compared to q, in the “cas non ramifié de Ogg”.

Martes 2 de Septiembre, 15:00-17:00

Lugar: Sala 3, Centro Docente Patricio Lynch,  Av. Playa Ancha esquina Patricio Linch, Universidad de Valparaíso

Expositor: Godofredo Iommi  (PUC)

Título:  La fórmula de Besicovitch

Resumen: En esta charla intentaré mostrar cómo técnicas propias de la teoría ergódica permiten obtener resultados interesantes en teoría de números. En la primera parte de la exposición revisaré algunas definciones y resultados de sistemas dinámicos (Teorema de recurrencia de Poincaré, Teorema ergódico de Birkhoff). Mostraré cómo pueden aplicarse, por ejemplo, en la teoría de fracciones continuas. En la segunda parte de la charla probaré, utilizando métodos de formalismo termodinámico, un resultado clásico de Besicovitch en el que calcula la dimensión de Hausdorff de conjuntos de números definidos en términos de la frecuencia con que aperecen los dígitos cero y uno en su expansión en base dos.

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Agosto

Jueves 29 de Agosto, 15:00-17:00

Lugar: Auditorio Ingeniería Ambiental,  Av. Playa Ancha esquina Patricio Linch, Universidad de Valparaíso.

Expositor: Jhon Jairo Bravo (U. Nacional Autónoma de México)

Título: Propiedades de la sucesion k-generalizada de Fibonacci

Resumen:

Sea $k\geq 2$ un entero. La sucesión $k-$generalizada de Fibonacci $(F_{n}^{(k)})_{n}$ se asemeja a la sucesión de Fibonacci, pues comienza con $0,\ldots,0,1$ ($k$ términos) y a partir de ahí cada término de la sucesión es la suma de los $k$ precedentes. En esta charla se presentan diferentes propiedades aritméticas de $(F_{n}^{(k)})_{n}$ como también se consideran algunas ecuaciones diofánticas que involucran números generalizados de Fibonacci.

Trabajo conjunto con Florian Luca de la Universidad Nacional Autónoma de México, México.

Martes 27 de Agosto, 15:00-17:00

Lugar: Sala CC 0-21, PUCV, casa central

Expositor: Nicolas Billerey (U. Blaise Pascal 2, Clermont-Ferrand, Francia)

Título: Congruences and modular forms

Resumen: In the sixties, Serre gave an interpretation of the congruences satisfied by the Ramanujan Tau function in terms of Galois representations. The precise determination by Serre and Swinnerton-Dyer of the image of these representations allowed them to give a complete list of the so-called exceptional primes for the Delta function. Their result was later (1985) generalized by Ribet in a non-effective way.
In the first part of the talk I will recall the basic facts about modular forms and their attached Galois representations. Then I will explain how to obtain an explicit version of Ribet’s theorem following a joint work with Luis Dieulefait.