Archivos mensuales: mayo 2013

Mayo

14 de Mayo, 16:30-17:30, PUCV sala 2-6

Expositor: Bastian Galasso (PUC)

Título: “Velocidades de aproximación de un número real por una sucesión de la forma $\{N\al\}$”

Resumen: En esta charla, dado un $\al$ irracional en $(0,1)$, introduciremos una forma de representación para un número $\beta \in (0,1]$ en términos $\al$ y de los aproximantes por fracción continua del mismo, la cual tiene la forma $\sum_{n \geq 1} b_n|\theta_{n-1}|,$ donde $\theta_n=q_n\al – p_n$.

Para esta representación nos preguntaremos sobre que posibles velocidades exponenciales de aproximación pueden tener al tomar distintos números $\al$ y $\beta$, y si para cada velocidad que encontremos, los elementos que satisfacen dicha velocidad son o no despreciables. Esta pregunta es contestada con detalle en al siguiente teorema

Teorema, para cada $\gamma \in (-\infty,-\log ((\sqrt{5}+1)/2))$ se tiene que
$$\dim_H \left(\left\{ (\al,\beta) \in (0,1]^2 : \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log |\{N_n\al\} – \beta| = \gamma \right\} \right) > 0.$$

El teorema anterior describe cuales son todas las posibles velocidades de aproximación que podemos obtener y además, concluye que los conjuntos que alcanzan dichas velocidades son no despreciables en tamaño, ya que tienen dimensión de Hausdorff positiva.

La naturales de este teorema de dinámica, por lo que introduciremos un sistema dinámico íntimamente ligado a la representación anterior, esta es $T:(0,1]^2 \to (0,1]^2$ definida por $T(\al,\beta)=(\{1/\al\},\{\

beta/\al\})$ y para esta transformación desarrollaremos el formalismo termodinámica, dando una descripción completa de la presión topológica, lo que finalizara en la demostración del teorema aplicando dichas técnicas.